KUMPULAN SOAL DAN JAWABAN ANALISIS SISTEM TENAGA LISTRIK (William D. Stevenson, Jr.) (BAB 10)

BAB 10.  GANGGUAN TIGA FASA SIMETRIS

10.1     Suatu tegangan  bolak-balik  60-Hz  yang  mempunyai nilai rms sebesar 100 V dikenakan pada suatu rangkaian RL seri dengan menutup sebuah sakelar. Resistansinya adalah 15 Ω sedangkan induktansinya 0.12 H.

(a).  Hitunglah nilai komponen dc arus pada saat sakelar ditutup jika nilai sesaat tegangan pada waktu itu adalah 50 V.

(b). Berapakah nilai sesaat tegangan yang akan menghasilkan komponen dc arus yang maksimum pada saat penutupan sakelar?

(c).  Berapakah nilai sesaat tegangan yang akan menghasilkan komponen dc arus yang bernilai nol pada saat penutupan sakelar?

(d). Jika sakelar ditutup ketika tegangan  sesaat sama dengan nol, tentukanlah arus sesaat 0.5, 1.5, dan 5.5 perioda kemudian.

Jawab :

 V_m  = √2  V_rms = 1.4142 x 100 = 141.42 V

(a).       v = V_m Sin (ωt + α)

            Untuk t = 0  ; v = 50 V

            50 = √2  V_rms Sin α

            50 = √2 100 Sin α

            Sin α = ( 50/141.42) = 0.3536

            α = 20.70° atau 159.30°

            Z = R + j (2π f) L = 15 + j (2π60) 0.12

            Z = 15 + j 45.24 = 47.66 a 71.66° Ω

Pada t = 0

i_dc = (V_m / |Z|)  Sin (ωt + α – θ)

i_dc = – (141.42/ 47.66)  Sin ( 20.70° – 71.66°)

i_dc = – 2.9673 Sin ( – 50.96°)

i_dc =  2.305 A

atau

i_dc = – (141.42/ 47.66)  Sin ( 159.3° – 71.66°)

i_dc = – 2.9673 Sin ( 87.64°)

i_dc = – 2.965 A Maksimum

(b).       Komponen dc maksimum terjadi bila Sin (α – θ) = ± 1 atau bila Sin (α – θ) = ± 90°,

α = (90° + 71.66°) = 161.66°  ;  α = (71.66° – 90°)  = – 18.34°

            v = V_m Sin 161.66°    = 141.42 (0.31465) = 44.5 V     atau

v = V_m Sin (– 18.34°) = 141.42 (0.31465) = 44.5 V 

(c).       Komponen dc tidak akan terjadi bila  (α – θ) = 0 atau 180° : yaitu bila

α = (0° + 71.66°) = 71.66°  ;  α = (180° + 71.66°) = 251.66°

            v = V_m Sin 71.66°     = 141.42 (0.9492) = 134.24 V     atau

v = V_m Sin (251.66°) = 141.42 (0.9492) = 134.24 V

(d).      Untuk v = 0 bila t = 0 dan α = 0 ;  0.5 perioda kemudian ωt = π rad.

           

           

            Untuk 1.5 perioda kemudian ωt = 3π rad.

            t = (ω / 2πf) = (3π / 2π60) = 0.025 detik

            i = 2.9673 x 0.9492 (1 + e^{[(--15x0.025)/0.12]})

            i = 2.9673 x 0.9492 (1 + e ^-3.125) = 2.940 A

            Untuk 5.5 perioda kemudian ωt = 11π rad.

            t = (ω / 2πf) = (11π / 2π60) = 0.091 detik

            i = 2.9673 x 0.9492 (1 + e^{[(-15x0.091)/0.12]})

            i = 2.9673 x 0.9492 (1 + e ^-11.46) = 2.817 A

                       

10.2     Sebuah generator yang dihubungkan melalui suatu pemutus rangkaian 5 putaran (cycle = perioda) pada sebuah transformator mempinyai rating 100 MV, 18 kV, dengan reaktansi-reaktansi X_d^” = 19%, X_d^’ = 26% dan  X_d = 130%. Generator itu sedang bekerja tanpa beban dan pada tegangan nominalnya ketika suatu hubung-singkat tiga-fasa terjadi diantara pemutus dan transformator. Tentukanlah (a). Arus hubung-singkat bertahan pada pemutus rangkaian, (b). Arus rms simetris awal pada pemutus itu, dan (c). Komponen dc maksimum yang mungkin pada arus hubung-singkat dalam pemutus tersebut.

Jawab :

Arus Dasar = (100 000 / √3 x 18) = 3 207.5 A

(a). Arus hubung singkat steady pada CB :

            I_hs = (1 / jX_d ) x I = (1 / j1.3 ) x 3 207.5

            I_hs = (1 / 1.3a 90°) x 3 207.5 = 2 467.3 a– 90° A

(b). Arus rms symetris awal pada CB :

            I_sym = (1 / X_d^” ) x I = (1 / j0.19 ) x 3 207.5

            I_sym = (1 / 0.19a 90°) x 3 207.5 = 16 882 a– 90° A

(c). Komponen dc maks. pada arus hubung-singkat dalam CB :

            I_dc = √2 x I_sym = √2 x 16 882 a– 90° = 23 874.8 a– 90° A

10.3     Transformator tiga-fasa yang terhubung pada generator seperti dilukiskan dalam Soal 10.2  mempunyai rating 100 MVA, 240Y/18∆ kV, X = 10%. Jika terjadi suatu hubung-singkat tiga fasa pada sisi tegangan tinggi transformator pada tegangan nominal dan tanpa beban, hitunglah (a). Arus rms simetris awal dalam gulungan-gulungan transformator pada sisi tegangan tingginya dan (b). Arus simetris awal dalam saluran pada tegangan-rendah.

Jawab :

I ” =  [1 / (X_d” + X)] = [1 / (j0.19 + j0/10)] = 1/ j 0.29 = – j3.448 = – 3.448 a 90° p.u

I_TT Dasar = (100 000 / √3 x 240) =  240.6 A

I_TR Dasar = (100 000 / √3 x 18) = 3 207.5 A

(a). Arus rms simetris awal dalam gulungan transformator pada sisi tegangan-tinggi:

            I_rms  = 3.448 x 240.6   = 829.6 A

(b). Arus simetris awal dalam saluran pada tegangan-rendah :

            I_rms  = 3.448 x 3 207.5 = 11 059.5 A

10.4     Sebuah generator 60-Hz mempunyai rating 500 MVA, 20 kV dengan X_d” = 0,20 p.u. Generator itu mencatu suatu beban resistif murni sebesar 400 MW pada 20 kV. Beban itu terhubung langsung pada terminal-terminal generator. Jika keseluruhan beban tiga-fasa terhubung-singkat dengan serentak, hitunglah arus rms simetris awal pada generator dalam p.u dengan 500 MVA, 20 kV sebagai dasar.

Jawab :

I_Beban = (400 / 500) = 0.8 p.u  ;   V_f = (20 / 20) = 1.0 p.u

E_g” = V_f + j I_Beban . X_d” = 1.0 + (0.8 x j0.20) = 1.0 +  j0.16 p.u

I_g” = (E_g” / X_d”) = [(1.0 +  j0.16) / j0.20] = [(1.01272 a 9.09°) / 0.20 a 90°]

I_g” = 5.064 a 80.91° p.u

10.5     Sebuah generator dihubungkan melalui suatu transformator pada sebuah motor serempak. Dengan dasar yang sama, reaktansi-reaktansi sub-peralihan p.u dari generator dan motor berturut-turut adalah 0.15 dan 0.35 sedangkan reaktansi bocor transformator adalah 0.10 p.u. Suatu gangguan tiga-fasa terjadi pada terminal-terminal motor ketika tegangan terminal generator adalah 0.9 p.u dan arus keluaran generator 1.0 p.u dengan faktor daya 0.8 mendahului. Hitunglah arus sub-peralihan dalam p.u pada gangguan, dalam generator dan dalam motor. Pakailah tegangan terminal generator sebagai phasor pedoman dan dapatkanlah penyelesaiannya (a) dengan menghitung tegangan-tegangan di belakang reaktansi sub-peralihan pada generator dan motor, (b) dengan menggunakan teorema Thevenin.

Jawab :

(a).       E_g” = V_f + (Cos φ + j Sin φ) . X_d”_generator

            E_g” = 0.9 + (0.8 + j 0.6) . j 0.15

            E_g” = 0.9 + j 0.12 – 0.09  = 0.81 + j 0.12 p.u

            E_m” = V_f –  (Cos φ + j Sin φ) ( X_TR +  X_d”_motor )

            E_m” = 0.9 –  (0.8 + 0.6) (j0.10 + j0.35)

            E_m” = 0.9 –  (0.8 + 0.6) (j0.45) = 0.9 – (j0.36 – 0.27)

            E_m” = 0.9 – j0.36 + 0.27 = 1.17 – j0.36 p.u

            I_g” = [ E_g” / (X_d”_gen + X_TR)] = [(0.81 + j0.12) / (j0.15 + j0.10)]

            I_g” = (0.81 + j0.12) / j0.25 = (– 0.12 + j0.81) / – 0.25

            I_g” = 0.48 + j3.24 p.u

            I_m” = (E_m” / X_d”_motor) = (1.17 – j0.36) / j0.35 = (0.36 + j1.17) / – 0.35

            I_m” = – 1.03 – j3.34 p.u

            I_f” = I_g” + I_m” = (0.48 + j3.24) + (– 1.03 – j3.34)

            I_f” = 0.48 + j3.24  – 1.03 – j3.34

            I_f” = – 0.55 – j6.58 p.u

(b).       V_f = V – (Cos φ + j Sin φ) ( X_TR )

            V_f = 0.9 –  (0.8 + 0.6) (j0.10)

            V_f = 0.9 –  (j0.08 – 0.06) = 0.9 + 0.06 – j0.08

            V_f = 0.96 –  j0.08 p.u

            Secara Teori Thevenin

         

        












             Z_th = [(X_d”_g + X_T) (X_d”_m) / (X_d”_g + X_T) + X_d”_m]

            Z_th = [(j0.15 + j0.10) (j0.35) / (j0.15 + j0.10) + j0.35]

            Z_th = (j0.25) (j0.35) / (j0.60) = (– 0.0875 / j0.60) = j 0.146 p.u

            I_f” = (V_f / Z_th) = [(0.96 –  j0.08) / j0.146] = [(0.08 +  j0.96) / – 0.146]

            I_f”  = – 0.55 – j6.58 p.u

            I_g” = (Cos φ + j Sin φ) + (X_d”_motor / X_total) . I_f”

            I_g” = (0.8 + j 0.6) + (j0.35 / j0.60) ( – 0.55 – j6.58)

            I_g” = (0.8 + j 0.6) + [(2.303 – j0.1925) / j0.60]

            I_g” = (0.8 + j 0.6) + [(j2.303 + 0.1925) / – 0.60]

            I_g” = (0.8 + j 0.6) + (– j3.838 – 0.3208)

            I_g” = 0.8 + j 0.6 – j3.838 – 0.3208 = 0.4792 – j3.238

`           I_g” = 0.48 – j3.24 p.u  [hasilnya sama dengan bagian (a).]

           

I_m” = – (Cos φ + j Sin φ) + [(X_d”_gen +X_T) / X_total] . I_f”

            I_m” = (– 0.8 – j 0.6) + (j0.25 / j0.60) ( – 0.55 – j6.58)

            I_m” = (– 0.8 – j 0.6) + [(– j0.1375 + 1.645) / j0.60]

            I_m” = (– 0.8 – j 0.6) + [(0.1375 + j1.645) / – 0.60]

            I_m” = – 0.8 – j 0.6 + (– 0.23 – j2.742) = – 0.8 – j 0.6 – 0.23 – j2.742

            I_m” = – 1.03 – j3.34 p.u [hasilnya sama dengan bagian (a).]

           

10.6     Dua buah motor serempak yang mempunyai mempunyai reaktansi sub-peralihan berturut-turut sebesar 0.80 dan 0.25 p.u atas dasar 480 V, 2000 kVA dihubungkan pada sebuah rel. Rel motor ini dihubungkan oleh suatu saluran transmisi yang             mempunyai reaktansi sebesar 0.023Ω pada suatu rel dari sebuah sistem. Pada rel sistem tenaga itu megavoltampere hubung-singkat dari sistem tenaga adalah 9.6 MVA untuk suatu tegangan nominal sebesar 480 V. Ketika tegangan pada rel motor 440 V, abaikanlah arus beban dan hitung arus rms simetris awal dalam suatu gangguan tiga-fasa pada rel motor.

Jawab :

Z Dasar = [(kV)² / MVA] = (0.480)² / 2 = 0.115 Ω

X_L = (0.023 / 0.115) = 0.20 p.u

X_hs = ( MVA / MVA_hs) = (2 / 9.6) = 0.208 p.u

10.7     Matriks impedansi rel suatu jala-jala dengan 4-rel dan nilai-nilai dalam p.u adalah:

Generator-generator dihubungkan pada rel 1 dan 2 dan reaktansi-reaktansi sub-peralihannya perlu diperhitungkan dalam mendapatkan  Z_rel . Jika arus pragangguan dapat diabaikan, hitunglah arus sub-peralihan dalam  p.u  pada gangguan untuk suatu  gangguan tiga-fasa pada rel 4. Misalkan bahwa tegangan pada gangguan adalah 1.0 p.u sebelum terjadinya gangguan. Hitunglah juga arus dalam p.u  dari generator 2  yang reaktansi sub-peralihannya adalah 0.2  p.u

Jawab :

Pada Rel 4 :

I_f “ = 1/Z₄₄ = 1/j0.12 = – j 8.33 p.u

V₂ = 1.0 – (Z₂₄ / Z₄₄) = 1.0 – (0.09/0.12) = 0.25 p.u

Dari generator 2 :

I₂” = (V – V₂) / X_d” = (1.0 – 0.25) / j0.2 = 0.75 / j0.2 = – j 3.75 p.u

10.8     Untuk jala-jala yang diperlihatkan dalam Gambar 10.18 hitunglah arus sub-peralihan dalam p.u dari generator 1 dan dalam saluran 1-2 dan tegangan-tegangan pada rel 1 dan 3 untuk suatu gangguan tiga-fasa pada rel 2. Misalkan bahwa sebelum gangguan tidak ada arus yang mengalir dan bahwa tegangan pragangguan pada rel 2 adalah 1.0 p.u . Gunakanlah matriks impedansi rel dalam perhitungan-perhitungan itu.

Jawab :

Jaringan Thevenin :

Admitansi-admitansi dalam p.u 

Δ  = (1 /– j) {12(7.5 x 8.5 – 2.5 x 2.5) + 5 (– 5 x 8.5 – 2 x 2.5) – 2[(– 5 x (– 2.5) – ( –2 x 7.5)]}

Δ  = (1 /– j) {12(63.75 – 6.25) + 5 (– 42.5 – 5.0) – 2(12.5 + 15)}

Δ  = (1 /– j) {12(57.5) + 5(– 47.5) – 2(27.5)}

Δ  = (1 /– j) (690 – 237.5 – 55) = (397.5) / (– j )

Δ  = j 397.5

Untuk gangguan pada simpul-simpul, impedansi-impedansi yang diperlukan adalah :

Z₁₂ = Δ₂₁ / Δ = – {(j5) (– j8.5) – (j2.5)(j2)} / j397.5 = – (42.5 + 5) / j397.5

Z₁₂ = j0.1195 p.u

Z₂₂ = Δ₂₂ / Δ =  {(– j12) (– j8.5) – (j2)(j2)} / j397.5 = (–102 + 4) / j397.5

Z₂₂ = j0.2465 p.u

Z₃₂ = Δ₂₃ / Δ =  {(– j12) ( j2.5) – (j5)(j2)} / j397.5 = (30 + 10) / j397.5

Z₃₂ = j0.1006 p.u

I_f” = V₂ / Z₂₂ = 1.0 / j0.2465 = – j 4.0568 p.u

V₁ = 1 – (Z₁₂ / Z₂₂) = 1 – ( j0.1195 / j0.2465) = 0.515 p.u

V₃ = 1 – (Z₃₂ / Z₂₂) = 1 – ( j0.1006 / j0.2465) = 0.592 p.u

I”_{1 – 2} = (V₁ / X₁₂) = 0.515 / j0.2 = – j 2.575 p.u

Dari generataor 1:

I_g  = (1 – V₁) / X_d” = (1 – 0.515) / j0.2 = – j2.425 p.u 

10.9     Jika suatu  gangguan tiga-fasa terjadi pada rel 1 dalam jala-jala pada Gambar 10.11 ketika tidak ada beban (semua simpul-simpul  bertegangan 1.0 p.u), hitunglah arus sub-peralihan pada gangguan,  tegangan-tegangan pada rel 2, 3 dan 4, dan hitung arus dari generator yang terhubung pada rel 2.    
Jawab :

Gambar 10.11

Dari Persamaan 10.18

Z₁₁ = j0.1488 ; Z₁₂ = j0.0651 ; Z₁₃ = j0.0.0864 ; Z₁₄ = j0.0978

I_f “ = 1 / Z₁₁ = 1 / j0.1488 = – j6.7204

V₂ = 1 – (I_f “ . Z₁₂) =  1 – ( – j6.7204 x j0.0651)

V₂ = 1 – 0.4375 = 0.5625 p.u

V₃ = 1 – (I_f “ . Z₁₃) =  1 – ( – j6.7204 x j0.0864)

V₃ = 1 – 0.5806 = 0.4194 p.u

V₄ = 1 – (I_f “ . Z₁₄) =  1 – ( – j6.7204 x j0.0978)

V₄ = 1 – 0.6573 = 0.3427 p.u

I₂” = (1 – V₂)  / ( X_d” + X_L) = (1– 0.5625) / (j0.2 + j0.1) = (0.4375 / j0.3)

I₂” = – j6.7204 p.u

10.10   Hitunglah arus sub-peralihan  dalam  p.u  dalam suatu gangguan tiga-fasa pada rel 5 jala-jala dalam Contoh Soal 8.1. Abaikanlah arus pragangguan dan misalkan semua tegangan-tegangan rel adalah 1.0 p.u sebelum terjadinya gangguan dan gunakanlah perhitungan-perhitungan yang telah dibuat dalam Contoh  Soal 10.4. Hitunglah juga arus dalam saluran-saluran 1-5 dan 3-5.

Jawab :

Dengan mengabaikan resistansi agar dapat menggunakan perhitungan-perhitungan dari Contoh Soal 10.4. Sehingga menjadi jala-jala admitansi seperti di bawah ini:

Jala-jala dengan admitansi yang ditunjukkan dalam  p.u  pada Gambar di atas, matriks admitansi simpulnya adalah :

Matriks 5 x 5 bila di invers dengan bantuan komputer akan menghasilkan matriks hubung-singkat atau matriks impedansi seperti di bawah ini:

Arus pada Rel 5 adalah :

I_f “ = (1 / Z₅₅ ) = (1 / j0.1301) = – j 7.686 p.u

V₁ = 1.0 –  I_f “ x Z₁₅ = 1.0 – ( – j 7.686 ) (j 0.0608) = 1.0 – 0.4673 = 0.5327 p.u

V₃ = 1.0 –  I_f “ x Z₃₅ = 1.0 – ( – j 7.686 ) (j 0.0603) = 1.0 – 0.4635 = 0.5365 p.u

Arus dalam saluran 1 – 5 :

I_1-5 = (V₁ – 0) (Y₁₅) = (0.5327 – 0) (– j 7.937) = – j 4.228 p.u

Arus dalam saluran 3 – 5 :

I_3-5 = (V₃ – 0) (Y₃₅) = (0.5365 – 0) (– j 4.762) = – j 2.555 p.u

Arus Dasar = (100 000 / √3 x 138) = 418.37 A

Jadi      I_1-5 = 4.228 x 418.37 = 1 768.87 ≈ 1 769 A

            I_3-5 = 2.555 x 418.37 = 1 068.94 ≈ 1 069 A

10.11   Sebuah generator 625-kVA 2.4-kV dengan X_d^” = 0.20 p.u dihubungkan pada suatu rel melalui suatu pemutus rangkaian seperti ditunjukkan dalam Gambar 10.19. Tiga buah motor serempak dengan rating 250 hp, 2.4 kV, faktor daya 1.0, efisiensi 90%, dan dengan X_d^” = 0.20 p.u terhubung pula pada rel yang sama melalui pemutus-pemutus rangkaian. Motor-motor bekerja dengan beban penuh, faktor daya satu, dan tegangan nominal, dengan beban yang terbagi rata di antara mesin-mesin tersebut.

     a.  Gambarkan diagram impedansi dengan impedansi-impedansi yang ditandai dalam p.u atas dasar 625 kVA, 2.4 kV.

b. Hitunglah arus hubung-singkat simetris dalam ampere yang harus diputuskan oleh pemutus-pemutus rangkaian A dan B untuk suatu gangguan tiga-fasa pada titik P. Sederhanakanlah perhitungan-perhitungnnya dengan mengabaikan arus pragangguan.

      c. Ulangi bagian (b) untuk suatu gangguan tiga-fasa pada titik Q.

      d. Ulangi bagian (b) untuk suatu gangguan tiga-fasa pada titik R.

      

      Jawab :

(a). Diagram impedansi :

Generator 625 KVA; 2.4 kV; X_d” = 0.20 p.u
Motor 250 hp; 2.4 kV; X_m” = 0.20 p.u; η = 90%; pf = 1.0 ( 1hp = 0.746 KW)

Daya input motor = [(250 x 0.746) / 90%] x pf = 207.2 x 1.0 = 207.2 KVA

X_m” = 0.20 x (625/207.2) = 0.603 p.u

Untuk arus pemutus digunakan 1.5 X_m” = 1.5 x 0.603 = 0.905 p.u

Dari Generator :

Untuk masing-masing Motor :

I = [( I_f “ – I ) / 3] = {[(– j 8.313 – (– j 5.0 )] / 3}= (– j 8.313 + j 5.0 ) / 3

I = – j 1.104 p.u                      atau                 I = 1.104 x 150.4 = 166.04 A

Gangguan pada titik P :

melalui CB A è        I = 752 A                                (hanya dari generator saja)

melalui CB B è        I = I_g + 2 I_m = – j 5.0 + 2(– j 1.104) = – j 7.208 p.u

                                    I = 7.208 x 150.4 = 1 084 A   (dari generator dn 2 motor)

Gangguan pada titik Q :

melalui CB A  è        I = 752 A                                (hanya dari generator saja)

melalui CB B  è        I = 166.04 A                           (hanya dari satu motor)

Gangguan pada titik R :

melalui CB A è        I = 3 x 166.04 = 498.12 A      (dari 3 motor)

melalui CB B  è        I = 166.04 A                           (hanya dari satu motor)

Besarnya arus maksimum yang akan di putus oleh CB A adalah 752 Ampere dan oleh CB B adalah 1084 Ampere.

10.12   Suatu pemutus rangkaian yang mempunyai rating nominal sebesar 34.5 kV dan rating arus terus-menerus sebesar 1500 A, faktor daerah tegangannya (K) adalah 1,65 . Tegangan maksimum nominal adalah 38 kV, dan arus hubung-singkat nominal pada tegangan itu adalah 22 kA. Hitunglah (a) tegangan dimana untuk nilai-nilai di bawahnya arus hubung-singkat nominal tidak bertambah besar jika tegangan kerjanya menurun,  dan hitung juga nilai dari arus itu. (b) arus hubung-singkat nominal pada 34.5 kV.

Jawab :

CB è             V = 34.5 kV (Tegangan Nominal)

                        I = 1500 A    ( Arus continous )

                        K = 1.65

                        V_m = 38 kV (Tegangan maksimum nominal)

                        I_hs   = 22 kA (Arus hubung-singkat nominal)

(a).       Daerah tegangan kerja = 38 kV sampai 23 kV (kareana 38/1.65 = 23)

            Arus hubung-singkat nomibal pada tegangan 23 kV = 22 kA x 1.65 = 36 300 A

            ≈ 36 kA

(b).      Arus hubung-singkat nominal pada 34.5 kV = (38 / 34.5) x 22 kA = 24 232 A

            ≈ 24 kA

==mosya2016==