KUMPULAN SOAL DAN JAWABAN ANALISIS SISTEM TENAGA LISTRIK (William D. Stevenson, Jr.) (BAB 9)

BAB 9.  OPERASI  EKONOMIS  SISTEM  TENAGA

9.1   Untuk sebuah unit pembangkit tertentu dalam suatu stasiun masukan bahan bakar dalam jutaan  BTU per jam yang dinyatakan sebagai suatu fungsi dari keluaran daya P dalam megawatt adalah  0.0001 P³ + 0.015 P² + 0.3 P + 90

a)   Tentukan persamaan untuk biaya bahan bakar tambahan dalam dolar per megawattjam sebagai fungsi dari keluaran daya dalam megawatt dengan dasar biaya bahan bakar sebesar $ 1.40 per juta BTU.

b)      Carilah persamaan untuk suatu pendekatan linier yang baik bagi biaya bahan bakar tambahan sebagai suatu fungsi dari keluaran daya pada suatu daerah antara 20 dan 120 MW.

c)      Berapakah biaya bahan bakar rata-rata per megawattjam bila stasiun itu mengirim daya 100 MW ?

d)     Berapakah kira-kira biaya bahan bakar yang harus ditambahkan per jam untuk menaikkan keluaran stasiun itu dari 100 menjadi 110 MW ?

Jawab :

(a).       F = 1.4(0.0001)P³ + 0.015P² + 3.0P + 90)

            F = (1.4x10^-4)P³ + 0.021P² + 4.2P + 126

            dF/dP = 4.2x10^-4P² + 0.0421P + 4.2   .......................................(1)

(b).      Dengan metoda kwadrat terkecil untuk :

            P = 20, 40, 60, 80, 100 dan 120 MW, persamaan menjadi :

             dF/dP = 0.10 (P) + 2.63                     .........................................(2)

 (c).      F = 0.00014(100)³ + 0.021(100)² + 4.2(100) + 126 = $ 896 /MW jam

            Biaya rata-rata = 8.96 $/MW jam

(d).      Daya kira-kira adalah dF/dP dimana P = 100 MW

            Dengan pers.(1) dF/dP = 0.00042 (100)² + 0.042 (100) + 4.2 = $ 12.60/MW jam

            

            Dengan pers.(2) dF/dP = 0.10 (100) + 2.63 = $ 12.63/MW jam

 

9.2     Biaya bahan bakar tambahan untuk dua unit dari sebuah stasiun adalah

            dF₁/dP₁ = 0.010 P₁ + 11.0       dan      dF₂/dP₂ = 0.012 P₂ + 8.0    

                 

Dimana F adalah dalam dollar per jam dan P dalam megawatt. Jika kedua unit itu bekerja sepanjang waktu dan beban-beban maksimum dan minimum pada masing-masing unit adalah 625 dan 100 MW. Buatlah grafik λ dalam dollar per jam megawattjam versus keluaran stasiun dalam megawatt untuk biaya bahan bakar terendah pada saat beban total berubah dari 200 menjadi 1250 MW.

Jawab :

Misalkan P₁ = P₂ = 100 MW

dF₁/dP₁ = 0.010 (100) + 11.0 = 12

dF₂/dP₂ = 0.012 (100) + 8.0 = 9.2

Sampai dF₂/dP₂ = 12 , semua kenaikan daya diambil dari unit #2 :

0.012P₂ + 8.0 = 12

P₂ = (12 – 8.0 ) / 0.012 = 333.33         untuk  dF₂/dP₂ = 12

Misalkan P₁ dan P₂ = 625 MW

dF₁/dP₁ = 0.010 (625) + 11.0 = 17.25

dF₂/dP₂ = 0.012 (625) + 8.0   = 15.50

Jika  dF₂/dP₂  menjadi 15.50 semua kenaikan daya diambil dari unit #1.

Dengan memasukkan berbagai nilai λ = dF/dP  kedalam persamaan-persamaan,

dibuatlah daftar berikut ini :

Pemetaan λ versus P₁ + P₂ terdiri dari tiga garis lurus yang menghubungkan titik-titik yang di tandai *

9.3   Hitunglah penghematan dalam dolar per jam untuk alokasi beban yang ekonomis di antara unit-unit pada Soal 9.2 dibandingkan dengan bila keduanya membagi dua sama besar keluarannya bila keluaran keseluruhan adalah 750 MW.

Jawab :

Pada penyerahan ekonomis untuk keluaran total sebesar 750 MW.

P₁ + P₂ = 750 MW      è        P₂ = 750 – P₁

0.01P₁ + 11 = 0.012 P₂ + 8

0.01P₁ + 11 = 0.012( 750 –  P₁ ) + 8

0.01P₁ + 11 = 9 – 0.012P₁ + 8

0.01P₁ + 0.012P₁ = 9 + 8 – 11

0.022P₁  = 6  è  P₁ = 6/0.022 = 272.7 MW

0.01P₁ + 11 = 0.012 P₂ + 8

0.01(272.7) + 11 = 0.012P₂ + 8

0.012P₂ = 13.727 – 8  è        P₂ = 5.727/0.012 = 477.3 MW

Kenaikan biaya operasi bila beban adalah

Untuk :
            

P₁ = {0.005(375)² + 11(375)} – {0.005(272.7)² + 11(272.7)}

P₁ = (703.125 + 4125) – (371.83 + 2999.7) = 4828.125 – 3371.53

P₁ = 1456.595 $/jam

Untuk :

P₂ = {0.0012(375)² + 8(375)} – {0.0012(477.3)² + 8(477.3)}

P₂ = (843.75 + 3000) – (1366.892 + 3818.4) = 3843.75 – 5185.292

P₂ =  – 1341.542 $/jam

            Penghematan : P₁ + P₂ = 1456.595 – 1341.542 = 115.053 $/jam

9.4  Sebuah stasiun mempunyai dua generator  yang mencatu  rel stasiun itu, dan tidak satupun  bekerja di bawah 100 MW atau di atas  625 MW.  Biaya-biaya tambahan dengan P₁ dan P₂ dalam megawatt adalah :

            dF₁/dP₁ = 0.012 P₁ + 8.0       $/MWjam

            dF₂/dP₂ = 0.018 P₂ + 7.0       $/MWjam

Untuk pengiriman yang ekonomis tentukalah  λ stasiun  bila  P₁+P₂ sama dengan (a) 220 MW, (b) 500 MW, dan (c) 1150 MW.      

Jawab :

(a).       P₁ + P₂ = 200 MW

            Masing-masing generator harus menyerahkan 100 MW.

            Untuk P₁ : è              λ = 0.012P₁ + 8 = 0.012(100) + 8 = 9.2

            Untuk P₂ : è              λ = 0.018P₂ + 7 = 0.018(100) + 7 = 8.8

            Peningkatan daya harus diambil dari P₂

Jadi λ = 8.8  $/MWjam

(b).       P₁ + P₂ = 500 MW è P₁ = (500 – P₂) ; è P₂ = (500 – P₁)

            0.012P₁ + 8 = 0.018P₂ + 7

            0.012P₁ + 8 = 0.018(500 – P₁) + 7

            0.012P₁ + 8 = 9 – 0.018P₁ + 7

            (0.012 + 0.018)P₁ = (16 – 8)               è  P₁ = 8/0.03 = 266.7 MW

            P₁ + P₂ = 500 MW                              è P₂ = 500 – 266.7 = 233.3 MW

            Jadi λ = 0.012P₁ + 8 = 0.012(266.7) + 8 = 11.2 $/MWjam              atau

            Jadi λ = 0.018P₂ + 7 = 0.018(233.3) + 7 = 11.2 $/MWjam

(c).       P₁ + P₂ = 1150 MW è P₁ = (1150 – P₂) ; è P₂ = (1150 – P₁)

            0.012P₁ + 8 = 0.018P₂ + 7

            0.012P₁ + 8 = 0.018(1150 – P₁) + 7  = 20.7 – 0.018P₁ + 7

            (0.012 + 0.018)P₁ = (27.7 – 8)            è P₁ = 19.7/0.03 = 656.7 MW

            P₁ + P₂ = 11500 MW                         è P₂ = 500 – 656.7 = 493.3 MW

            Batas P₁ adalah 625 MW, jadi peningkatan daya datang dari P₂ , adalah

            P₂ = 1150 – 625 = 525 MW.

            Jadi λ = 0.018P₂ + 7 = 0.018(525) + 7 = 16.45 $/MWjam

9.5   Hitunglah rugi daya dalam sistem pada Contoh 9.3 menurut koefisien-koefisien rugi pada contoh dan menurut | I |² | R |  untuk  I₁=1,5a 0° p.u dan  I₂ = 1,2a 0° p.u .  
Misalkan bahwa  V₃= 1,0a 0° p.u

Jawab :

V₁ = V₃ + I₁ x Za = 1.0 + (1.5 + j0)(0.04 + j0.16)

V₁ = 1.0 + 0.06 + j0.24 = 1.06 + j0.24 = 1.087 a 12.76°

V₂ = V₃ + I₂ x Zb = 1.0 + (1.2 + j0)(0.03 + j0.12)

V₂ = 1.0 + 0.036 + j0.144 = 1.036 + j 0.144 = 1.047 a 7.9°

P₁ = Real | V₁ . I₁| = Real |(1.06 + j0.24)(1.5 + j0)|    = 1.590 p.u

P₂ = Real | V₂ . I₂| = Real |(1.036 + j0.144)(1.2 + j0)| = 1.243 p.u

Dengan koefisien-koefisien B :

P_L = P₁² + B₁₁ + 2 P₁ P₂ B₁₂ + P₂² B₂₂

P_L = (1.59² x 0.0534) + (2 x 1.59 x 1.243 x 0.0182) + (1.243² x 0.0466)

P_L = 0.135 + 0.07194 + 0.07199

P_L = 0.2789 p.u

Dengan I² R :

P_L = I₁² x Ra + (I₁ + I₂)² x Rc + I₂² x Rb

P_L = (1.5² x 0.04) + (2.7² x 0.02) + (1.2² x 0.03)

P_L = 0.090 + 0.1458 + 0.0432

P _L = 0.2790 p.u

9.6   Hitunglah koefisien-koefisien rugi yang akan memberikan rugi daya sesungguhnya untuk sistem pada Contoh Soal 9.3 untuk I₁ = 0,8 a 0° p.u ,  I₂ = 0,8 a 0° p.u 
dan V₃ = 1,0 a 0° p.u.

Jawab :

I₁ = 0.8 a 0°                          Za = 0.04 + j 0.16

I₂ = 0.8 a 0°                          Zb = 0.03 + j 0.12

V₃ = 1.0 a 0°                        Zc = 0.02 + j 0.08

V₁ = V₃ + I₁ x Za = 1.0 + 0.8 (0.04 + j 0.16)

V₁ = 1.0 + 0.032 + j 0.128 = 1.032 + j 0.128 p.u 

V₂ = V₃ + I₂ x Zb = 1.0 + 0.8 (0.03 + j 0.12)

V₂ = 1.0 + 0.024 + j 0.096 = 1.024 + j 0.096 p.u

Korfisien-koefisien B :

|V₁| (pf₁) = 1.032                     ; |V₂| (pf₂) = 1.024

    

9.7   Sebuah sistem tenaga hanya mempunyai dua stasiun pembangkit dan daya dikirimkan secara ekonomis dengan P₁ = 140 MW dan P₂ = 250 MW. Koefisien-koefisien ruginya adalah

            B₁₁ =    0.10 x 10^-2 MW^-1

            B₁₂ = – 0.01 x 10^-2 MW^-1

            B₂₂ =    0.13 x 10^-2 MW^-1

Untuk menaikkan beban total sistem dengan 1 MW biayanya akan bertambah dengan $12 per jam. Hitunglah (a) faktor hukuman untuk stasiun 1, dan (b) pertambahan biaya per jam untuk menaikkan keluaran stasiun ini dengan 1 MW.

Jawab :           P₁ = 140 MW              ; P₂ = 250 MW

Koefisien-koefisien ruginya :

B₁₁ =    0.10 x 10^-2 MW^-1

B₁₂ = – 0.01 x 10^-2 MW^-1

B₂₂ =    0.13 x 10^-2 MW^-1

λ = 12 $/MWjam

P_L = B₁₁ P₁² + 2 (B₁₂ P₁ P₂) + B₂₂ P₂²

P_L = 0.10 x P₁² – 0.02 x 10^-2 P₁ P₂ + 0.113 x 10^-2 P₂²

∂P_L /∂P₂ = – 0.02x10^-2 P₁ + 0.26x10^-2  P₂

∂P_L /∂P₂ = 10^-2 ( 0.26P₂ – 0.02P₁ )

∂P_L /∂P₂ = 10^-2 (0.26 x 250 – 0.02 x 140)

∂P_L /∂P₂ = 10^-2 (65 – 28 ) = 62.2 x 10^-2 = 0.622 p.u

Faktor Hukuman  L₁ = 1 / (1- 0.622)  = 2.645

(dF₁/dP₁) x L₁ = λ  è  (dF₁/dP₁) = ( λ / L₁ ) = (12 / 2.645 ) = $ 4.537 /jam

Biaya per jam dari MW selanjutnya dari stasiun #1.

9.8  Pada suatu sistem yang terdiri dari dua stasiun pembangkit biaya tambahan dalam dollar per megawattjam dengan P₁ dan P₂ dalam megawatt adalah

    

            dF₁/dP₁ = 0.008P₁ + 8.0          dF₂/dP₂ = 0.012P₂ + 9.0

Sistem itu bekerja pada penerimaan ekonomis dengan P₁= P₂=500 MW 
dan (∂P_L/∂P₂) = 0.2.

Hitunglah faktor hukuman dari stasiun 1.

Jawab :          

 

9.9    Suatu sistem tenaga bekerja dengan pengiriman beban ekonomis dengan λ sistem sebesar $12,5 per megawattjam. Jika dengan menaikkan keluaran stasiun 2 sebesar 100 kW (sementara keluaran lain-lainnya dibuat konstan) rugi-rugi |I|²|R| untuk sistem meningkat dengan 12 kW, berapakah kira-kira pertambahan biaya per jam jika keluaran stasiun ini dinaikkan dengan 1 MW?

Jawab :

9.10  Sebuah sistem tenaga dicatu oleh dua buah stasiun saja, yng keduanya bekerja menurut pengiriman ekonomis Pada rel stasiun 1 biaya tambahan adalah $11.0 per megawattjam dan pada stasiun 2 $10.0 per megawattjam. Stasiun manakah yng mempunyai faktor hukuman yang lebih tinggi ? Berapakah faktor hukuman dari stasiun 1 jika biaya per jam untuk menaikkan beban pada sistem dengan 1 MW adalah $12.5 ?

Jawab :

11.0 L₁ = 10.0 L₂

L₂ = (11.0/10.0) L₁

L₂ = 1.1 L₁  è L₂ > L₁ è Stasiun 2 lebih tinggi Faktor Hukumannya.

Faktor Hukuman dari stasiun 1 adalah :

11.0 L₁ = 12.5 è L₁ = (12.5 / 11.0) = 1.136

9.11   Hitunglah nilai-nilai yang terdaptar di bawah ini untuk sistem dalam Contoh Soal 9.5 dengan λ sistem = $13.5 per megawattjam. Misalkan bahwa biaya bahan bakar pada keadaan tanpa beban untuk stasiun 1 dan 2 berturut-turut adalah $200 dan $400 per jam.

a.         P₁ , P₂ dan daya yang diserahkan pada beban untuk pengiriman yang ekonomis dengan rugi transmisi yang dikoordinasikan.

b.         P₁ dan P₂ untuk nilai daya yang diserahkan pada beban yang didapatkan pada bagian (a) tetapi dengan rugi transmisi tidak  dikoordinasikan. Tetapi rugi transmisi harus dimasukkan dalam penentuan masukan daya total ke dalam sistem.

c.         Biaya bahan bakar total dalam dollar per jam untuk bagian (a) dan (b).

Jawab :

Dari Contoh Soal 9.5 :

(dF₁ / dP₁) = 0.010P₁ + 8.5    $/MWjam         (dF₂ / dP₂) = 0.015P₂ + 9.5  $/MWjam

P_L = B₁₁ P₁² + 2 (B₁₂ P₁ P₂) + B₂₂ P₂²

Bila rugi daya pada saluran P_L=16 MW. Daya yang dikirimkan dari stasiun 1, 
P₁= 200 MW.

B₂₂ = 0 dan B₁₂ = 0. Beban terletak di stasiun 2, perubahan P₂ tidak mempengaruhi P_L Jadi :

P_L = B₁₁  P₁²  è 16 = B₁₁ x 200²  è B₁₁ = (16/200²) = 0.0004 MW^-1

(∂P_L / ∂P₁) = 2 B₁₁ P₁ + 2 B₁₂ P₂ = 2 x 0.0004 P₁ = 0.0008 P₁

(∂P₂ / ∂P₁) = 2 B₂₂ P₂ + 2B₁₂ P₁ = 0

(a). Untuk λ = 13.5

13.5 (1– 0.0008P₁) = 0.010P₁ + 8.5

13.5 – 0.0108P₁ = 0.010P₁ + 8.5

13.5 – 8.5 = (0.010 + 0.0108) P₁

P₁ = (5.0 / 0.0208) = 240.4 MW

0.015 P₂ + 9.5 = λ  è 0.015 P₂ + 9.5 = 13.5

P₂ = (4 / 0.015) = 266.7 MW

P_L = B₁₁ P₁²         = 0.0004 (240.4)²         = 23.1 MW

P_R = P₁ + P₂ – P_L  = 240.4 + 266.7 – 23.1 = 484 MW (Daya yang diserahkan pada beban).

(b).       P₁ + P₂ – 0.0004 P₁² = 484 .................................................(1)

0.010P₁ + 8.5 = 0.015 P₂ + 9.5

P₂ = (0.010P₁ + 8.5 – 9.5) / 0.015 = (0.010P₁ – 1 ) / 0.015

P₂ = 0.667 P₁ – 66.7 ..........................................................(2)

            (2)  è  (1)

            P₁ + (0.667 P₁ – 66.7) – 0.0004 P₁² = 484

            1.667 P₁ – 0.0004 P₁²                              = 550.7

             – 0.0004 P₁² + 1.667 P₁ – 550.7 = 0

P₁² – 4167.5 P₁ + 1376750          = 0 
Diselesaikan dengan mencari akar-akar dari persamaan kwadrat, 
dengan bantuan program EXCEL maka diperoleh sbb :

ð  P₁  = 361.7 MW
     P₂  = 0.667 P₁ – 66.7
ð  P₂  = 0.667 (361.7) – 66.7 = 174.5 MW

(c).      

           

Untuk P₁ = 240.4 MW  dan P₂ = 266.7 MW (dari bagian a.)

F₁ = 0.005 (240.4)² + 8.5 (240.4) + 200  = 2532.4 $/jam

F₂ = 0.0075 (266.7)² + 9.5 (266.7) + 400 = 3467   $/jam

F₁ + F₂ = 5999.4 $/jam

Untuk P₁ = 361.7 MW dan P₂ = 174.5 MW (dari bagian b.)

F₁  = 0.005 (361.7)² + 8.5 (361.7) + 200  = 3928   $/jam

F₂ = 0.0075 (174.5)² + 9.5 (174.5) + 400 = 2286  $/jam

F₁ +  F₂ = 6214 $/jam

==mosya2016==